Så du har ett antal hjälmar och ett antal personer, du vill veta om du har tillräckligt med hjälmar. Hur gör du?
Du kan räkna alla personer och räkna alla hjälmar och jämföra vilket tal som är störst. Men räkna är tråkigt. Ett annat sätt är att låta alla ta på sig varsin hjälm. Om du får hjälmar över har du fler hjälmar än människor, om hjälmarna inte räcker har du för många människor.
Låter det lätt? Det är meningen. Inom matematiken kallar vi det du precis gjorde — att placera hjälmar på människor — för en funktion. Funktionen sägs vara bijektiv om du har lika många hjälmar som personer och jag tänkte att vi skulle titta lite närmare på just bijektiva funktioner som ett sätt att utforska oändligheter.
Bijektiva funktioner - ett nödvändigt ont
Så vad är en bijektiv funktion? Det betyder bara att om du har lika många hjälmar som personer så är funktionen som matchar personer med hjälmar bijektiv. Har du fler personer eller fler hjälmar är den inte bijektiv.
Det finns en bijektiv funktion som matchar A, B och C med kvadrat, stjärna och cirkel.
Ovanstående mängder bestående av A, B och C och kvadrat, stjärna, cirkel har en bijektiv funktion. Lägger vi till en triangel till mängden med geometriska figurer slutar det fungera.
Det finns INGEN bijektiv funktion som matchar A, B och C med kvadrat, stjärna, cirkel och triangel.
Nu har vi ett extra objekt på högersidan och då går det inte att matcha bokstäverna med figurerna jämnt. Mängderna saknar därför en bijektiv funktion. Varför berättar jag det här? Jo, för bijektiva funktioner har den egenskapen att om det finns en bijektiv funktion mellan två mängder så betyder det att mängderna måste innehålla lika många objekt.
Oändligheter och bijektiva funktioner
Om vi antar att vi har en mängd X som innehåller alla positiva heltal {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}. Hur många tal finns det i den mängden? Oändligt många, eller hur?
Vi har en annan mängd Y som innehåller alla positiva jämna heltal {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}. Hur många tal finns det i den mängden? Å ena sidan borde det vara oändligt många. Å andra sidan borde det vara hälften så många som i X, Y saknar ju alla udda tal.
Så vilket är rätt? Har Y lika många objekt som X eller bara hälften så många? Vi får använda bijektiva funktioner för att avgöra.
Verkar gå att matcha...
Det går att matcha. För varje heltal i x i mängden X finns det ett tal y i mängden Y som är lika med 2x. För varje tal finns det alltså ett som är dubbelt så stort och tvärtom: för varje jämnt tal finns det ett tal som är hälften så stort. Det finns alltså en bijektiv funktion mellan X och Y. Alltså har X och Y lika många objekt — båda är alltså lika stora.
Antag att mängden Z innehåller alla tal som är jämnt delbara med tio {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ...}. Vid första anblick innehåller Z mycket färre tal än X, Z saknar talen 1-9, 11-19, 21-29 osv. Men det finns en bijektiv funktion mellan Z och X (Z = 10X) och en mellan Z och Y (Z = 5Y). Mängden Z innehåller därför — precis som X och Y — oändligt många tal.
Vad har vi lärt oss?
Du kan räkna alla personer och räkna alla hjälmar och jämföra vilket tal som är störst. Men räkna är tråkigt. Ett annat sätt är att låta alla ta på sig varsin hjälm. Om du får hjälmar över har du fler hjälmar än människor, om hjälmarna inte räcker har du för många människor.
Låter det lätt? Det är meningen. Inom matematiken kallar vi det du precis gjorde — att placera hjälmar på människor — för en funktion. Funktionen sägs vara bijektiv om du har lika många hjälmar som personer och jag tänkte att vi skulle titta lite närmare på just bijektiva funktioner som ett sätt att utforska oändligheter.
Bijektiva funktioner - ett nödvändigt ont
Så vad är en bijektiv funktion? Det betyder bara att om du har lika många hjälmar som personer så är funktionen som matchar personer med hjälmar bijektiv. Har du fler personer eller fler hjälmar är den inte bijektiv.
Det finns en bijektiv funktion som matchar A, B och C med kvadrat, stjärna och cirkel.
Ovanstående mängder bestående av A, B och C och kvadrat, stjärna, cirkel har en bijektiv funktion. Lägger vi till en triangel till mängden med geometriska figurer slutar det fungera.
Det finns INGEN bijektiv funktion som matchar A, B och C med kvadrat, stjärna, cirkel och triangel.
Nu har vi ett extra objekt på högersidan och då går det inte att matcha bokstäverna med figurerna jämnt. Mängderna saknar därför en bijektiv funktion. Varför berättar jag det här? Jo, för bijektiva funktioner har den egenskapen att om det finns en bijektiv funktion mellan två mängder så betyder det att mängderna måste innehålla lika många objekt.
Oändligheter och bijektiva funktioner
Om vi antar att vi har en mängd X som innehåller alla positiva heltal {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}. Hur många tal finns det i den mängden? Oändligt många, eller hur?
Vi har en annan mängd Y som innehåller alla positiva jämna heltal {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}. Hur många tal finns det i den mängden? Å ena sidan borde det vara oändligt många. Å andra sidan borde det vara hälften så många som i X, Y saknar ju alla udda tal.
Så vilket är rätt? Har Y lika många objekt som X eller bara hälften så många? Vi får använda bijektiva funktioner för att avgöra.
Verkar gå att matcha...
Det går att matcha. För varje heltal i x i mängden X finns det ett tal y i mängden Y som är lika med 2x. För varje tal finns det alltså ett som är dubbelt så stort och tvärtom: för varje jämnt tal finns det ett tal som är hälften så stort. Det finns alltså en bijektiv funktion mellan X och Y. Alltså har X och Y lika många objekt — båda är alltså lika stora.
Antag att mängden Z innehåller alla tal som är jämnt delbara med tio {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ...}. Vid första anblick innehåller Z mycket färre tal än X, Z saknar talen 1-9, 11-19, 21-29 osv. Men det finns en bijektiv funktion mellan Z och X (Z = 10X) och en mellan Z och Y (Z = 5Y). Mängden Z innehåller därför — precis som X och Y — oändligt många tal.
Vad har vi lärt oss?
- Bijektiva funktioner matchar alla objekt i en mängd med alla objekt i en annan mängd.
- Om två mängder har en bijektiv funktion så har de lika många objekt.
- Oändliga mängder kan verka olika stora men vi kan bevisa att de är lika stora genom att hitta en bijektiv funktion som matchar objekt i ena mängden med objekt i andra mängden.
