Jag tänkte att vi ska leka en liten lek med en cirkel som vi delar upp i delar. Vi ska försöka hitta ett mönster och se om det finns några risker med det.
Innan vi börjar måste vi ha lite regler. Vi kommer att rika en cirkel och rita punkter på cirkelns kant. Vi kommer att dra linjer mellan punkterna och räkna hur många delar det blir av cirkeln.
En viktig sak är att vi måste välja punkterna på ett sätt så att fler än två linjer aldrig korsar varandra i samma punkt.
Varför är det ena inte okej? För att en "del" av cirkeln försvinner. Om de tre linjerna korsar varandra i en punkt (som vid den röda markeringen) så försvinner den delen som visas av den gröna markeringen. Därför måste vi välja våra punkter så att fler än två linjer aldrig korsar varandra i samma punkt.
Ok. Då kan vi börja.
Rita en cirkel. Gör en punkt på cirkelns periferi (cirkelns linje). Räkna antalet punker och antalet delar cirkeln är uppdelad i.
En punkt. En del.
Innan vi börjar måste vi ha lite regler. Vi kommer att rika en cirkel och rita punkter på cirkelns kant. Vi kommer att dra linjer mellan punkterna och räkna hur många delar det blir av cirkeln.
En viktig sak är att vi måste välja punkterna på ett sätt så att fler än två linjer aldrig korsar varandra i samma punkt.
Varför är det ena inte okej? För att en "del" av cirkeln försvinner. Om de tre linjerna korsar varandra i en punkt (som vid den röda markeringen) så försvinner den delen som visas av den gröna markeringen. Därför måste vi välja våra punkter så att fler än två linjer aldrig korsar varandra i samma punkt.
Ok. Då kan vi börja.
Rita en cirkel. Gör en punkt på cirkelns periferi (cirkelns linje). Räkna antalet punker och antalet delar cirkeln är uppdelad i.
En punkt. En del.
Rita en punkt till. Dra en linje mellan punkterna. Räkna antalet punkter och antalet delar cirkeln är uppdelad i.
Två punkter. Två delar.
Rita ytterligare en punkt. Dra en linje mellan punkterna. Räkna antalet punkter och antalet delar cirkeln är uppdelad i.
Tre punkter. Fyra delar.
Rita en femte fjärde. Dra en linje mellan punkterna. Räkna antalet punkter och antalet delar cirkeln är uppdelad i.
Fyra punkter. Åtta delar.
Rita en punkt till. Dra en linje mellan punkterna. Räkna antalet punkter och antalet delar cirkeln är uppdelad i.
Fem punkter. 16 delar.
Vid det här laget har de flesta tröttnat på att rita punkter, dra linjer och räkna delar. Vi kan ta den information vi har samlat ihop och se om vi kan hitta något samband mellan antalet punkter och antalet delar cirkeln är uppdelad i. För att det ska vara lätt att överblicka ritar vi en tabell.
Om vi ritar dit en punkt till hur många delar borde vi få då? Om du bara läser upp antalet delar efter varandra (1, 2, 4, 8, 16, ?) så är det nästan så att svaret slinker ur dig. Det har dubblat varje gång. Så nästa borde bli 32 delar.
Antal punkter Antal delar 1 1 2 2 3 4 4 8 5 16 6 ?
Beskriva mönster med formler
Vi kan beskriva utvecklingen med en formel som vi kan använda för att räkna ut hur många delar cirkeln får om vi ritar dit kanske 10 extra punkter. Med 2 punkter har vi 2 delar. Nästa rad har vi 4 delar, det är 2*2. Nästa rad har vi 8 delar, det är 2*2*2. 16 delar är 2*2*2*2.
Antal punkter Antal delar Formel 1 1 ??? 2 2 2 3 4 2*2 4 8 2*2*2 5 16 2*2*2*2 6 ? ???
vi läser ut det som två upphöjt till tre och det betyder bara att du tar 2 gånger sig själv tre gånger. Samma gäller med två upphöjt till fyra.
Med tanke på hur vår formel ser ut kan vi säkert använda potenser för att få det att se lite snyggare ut. Det finns ett specialfall när vi har upphöjt till noll. Det då blir svaret alltid 1.
Det kan vi använda när vi ska göra en generell formel. Vi kan kalla den för Bättre formel och vi använder potenser av två.
Nu har vi snart klara. Vår tabell ser rätt fin ut, men vi behöver hitta vår generella formel. Om vi kallar antalet punkter för p och antalet delar för d så kan vi se att
Antal punkter Antal delar Formel Bättre formel 1 1 ??? 2 2 2 3 4 2*2 4 8 2*2*2 5 16 2*2*2*2 6 ? ???
Nu har vi tagit fram en generell formel och den ser rätt cool ut. Den kan vi använda för att förutsäga hur många delar en cirkel med 6 punkter kommer att bli uppdelad i (eller vi kunde göra det om vi inte redan visste, men det här är bara ett exempel.
Vi stoppar in p = 6 i vår formel:
Cirkeln borde alltså ha 32 delar. Allt vi har gjort hittills är helt korrekt.
- Vi har ritat, räknat och gjort observationer.
- Vi har använt de observationerna för att hitta ett mönster.
- Vi har beskrivit vårt mönster med en generell formel.
- Vi har använt vår generella formel för att förutsäga framtiden.
Sex punkter. 31 delar.
Okej, så det blir bara 31 delar. Räkna själv. Gör en egen cirkel och räkna själv. Bara 31. Det suger ju lite, eftersom vi la ner så mycket jobb på att hitta en formel som förklarade för oss att det skulle bli 32 delar.
Misströsta inte. Vi gjorde helt rätt. Vi använde en korrekt metod för att hitta en korrekt formel. Problemet var att vi hade tittat på för få punkter innan vi drog vår slutsats. Hade vi räknat med sex punkter från början hade vi sett att vår formel inte fungerade.
Så vad har vi lärt oss?
- Vi vet hur vi kan skapa en generell formel för att beskriva saker vi ser.
- Vi vet att det är viktigt att ha tillräkligt mycket data innan du skapar din generella formel, annars finns det en risk att formeln blir fel.
- Vi har lärt oss att man kan använda rätt metod men ändå få fel svar.
