söndag 30 augusti 2009

Klurig matematik, del 1

Matematik kan vara både klurig och lurig. Många gånger visar det sig att vi har en bild av matematik som faktiskt inte stämmer. Ett sådant exempel har att göra med födelsedagar.

Föreställ dig en skolklass med 23 elever. Hur stor sannolikhet är det att minst två av eleverna fyller år på samma dag?
A) 1 på 25
B) 1 på 10
C) 1 på 5
D) 1 på 2
Den borde vara ganska låg, inte sant? Typ en på 25 kanske? Med tanke på rubriken till det här inlägget så inser du säkert att det inte är så lätt.

Sannolikheten att du och jag fyller år på samma dag är en på 365 (eller en på 366 om vi räknar med skottår). Lägger vi till en tredje person blir sannolikheten att du och jag fyller år på samma dag 1 på 365, du och han fyller på samma dag en på 365 och att jag och han fyller år på samma dag en på 365. Dessutom är sannolikheten att vi alla fyller år på samma dag en på 129 940. Sammanlagt blir sannolikheten i alla fall cirka 3 på 365, vilket är ungefär 1 på 122 eller drygt 0,8 procent.

Lägger vi till en person till, så vi blir fyra, ökar sannolikheten till över 1,6 procent. Blir vi fem är chansen 2,7 procent. Vid sex personer blir vi 4,0 procent. Det fortsätter att öka på det här sättet, och när vi kommit upp i 23 personer är sannolikheten 50,7 procent att minst två fyller år på samma dag (se graf). Om du svarade D) 1 på 2 på frågan i början så svarade du med andra ord rätt.

Men att räkna ut det som jag har beskrivit blir väldigt jobbigt. När det är fyra personer kan tre råka fylla år på samma dag, men det går att bilda fyra olika grupper med tre personer. Alla olika kombinationer måste räknas ut och summeras och när gruppen växer går det att bilda nya smågrupper på väldigt många olika sätt, vilket gör det hela mycket komplext.

Ett vanligt trick som går att använda när man räknar sannolikhet är att vända på resonemanget. Sannolikheten att minst två personer fyller år på samma dag är samma sak som 1 - sannolikheten att ingen fyller år på samma dag. Det är ganska logiskt. Om vi summerar alla sannolikheter så blir det ett, om vi drar bort sannolikheten att ingen fyller år på samma dag, så får vi således bara kvar sannolikheten där någon fyller år på samma dag som någon annan.

Att räkna ut sannolikheten för att ingen fyller år på samma dag är lätt. Första personen kan fylla år på vilken dag som helt, person nummer två kan fylla år på vilken dag som helst förutom dagen den första fyller år på och får således 365-1 möjliga dagar att fylla år på, tredje personen får fylla år på 365-2 olika dagar osv. Multiplicerar man ihop alla dessa sannolikheter för de n första personerna (som i formeln till höger) och drar det ifrån 1 så får man sannolikheten för att någon fyller år på samma dag som någon annan.

Så vad har vi lärt oss?
  • Matematik kan vara både lurigt och klurigt
  • I en klass med 23 elever är chansen att två fyller år på samma dag över 50 procent
  • När vi ska räkna ut sannolikheten för att något ska inträffa är det ibland lättare att först räkna ut sannolikheten för att något inte ska inträffa
Har du något förslag på något klurigt matematiskt? Lämna en kommentar!