söndag 6 september 2015

Starka myror, exploderande hästar och trängsel i städer

Varför är myror så starka, varför exploderar hästar som faller ner i gruvschakt och varför är det oundvikligt att det blir köer när städer växer? Idag tänkte jag svara på alla tre frågor och dessutom förklara hur de frågorna hänger ihop.

Men vi börjar på en jobbintervju hos Google. De har gjort sig kända för att ställa kluriga frågor som ska få de ansökande att verkligen tänka till. En sådan fråga är följande:

Du blir krympt så du är lika lång som en enkronas diameter och slängd i en mixer. Din vikt reduceras så att du har samma densitet som normalt. Mixerns knivblad kommer börja röra sig om 60 sekunder. Vad gör du?

Medan du funderar på hur du skulle ha tagit dig ur den kniviga situationen vill jag berätta om sträckor, areor och volymer och hur de förhåller sig till varandra. Du kan säkert det här sedan tidigare, men för säkerhets skull repeterar jag så att vi inte tappar bort någon på vägen.




En sträcka är en storhet i en dimension, en area är en storhet i två dimensioner och en volym en storhet i tre dimensioner. Vi kan tänka oss oss att vi har en sträcka som är x lång, en area som är x2 stor och en volym som är xstor.



Vad händer om vi gör x i de här tre fallen dubbelt eller tre gånger så stort?

Om x blir dubbelt så stort:
  • x 2x 
  • x→ 2x × 2x = 4x2
  • x→ 2x × 2x × 2x = 8x3
Om x blir tre gånger så stort:
  • x → 3x 
  • x→ 3x × 3x = 9x2
  • x→ 3x × 3x × 3x 27x3
Om vi dubblar x så blir xfyra gånger större och xåtta gånger större.
Om vi gör tre gånger större blir xnio gånger större och x3 tjugosju gånger större.
Detta gäller så länge x är större än eller likamed 1.

Det här är ett annat sätt att säga att sträckor ökar linjärt, att areor ökar kvadratiskt och att volymer ökar kubiskt. Med den insikten i bagaget kan vi börja titta på mina tre frågor.

1. Varför är myror så starka?

Myror kan bära hundra gånger sin egen vikt, vilket låter helt otroligt, men förklaringen är enkel: myror är små. Om vi bortser från att myror skiljer sig från människor på andra sätt och bara tittar på siffrorna blir det enklare att förstå.

Din styrka är proportionell mot tvärsnittsarean x2 av dina muskler och ben.
Din vikt är proportionell mot din volym x3.

Det betyder att din styrka ökar kvadratiskt medan din vikt ökar kubiskt. Det betyder att om du blir dubbelt så stor, så blir du fyra gånger så stark och åtta gånger tyngre. Du blir alltså hälften så stark per vikt.

En myra på 8 mm är 200 gånger mindre än en människa som är 160 cm. Den där myran som kan bära 100 gånger sin egen vikt skulle alltså bara klara av att bära 100/200 = 0,5 gånger sin kroppsvikt om den var 160 cm stor och det känns väl rätt rimligt? Att bära halva sin kroppsvikt klarar nog de flesta människor.

2. Varför exploderar hästar som faller ner i gruvschakt?

Tänk dig att du har ett gruvschakt som är 1000 meter djupt. Släpper du ner en mus i schaktet kommer den att klara fallet, så länge det är hyfsat mjukt i botten, en råtta kommer dö, än människa att gå sönder medan en häst kommer att splashas mot botten av schaktet. 

Anledningen har att göra med att ett objekt som faller bromsas upp av luftmotståndet och når en gränshastighet (eller ett jämviktsläge), en maxhastighet där bromskraften och gravitationskraften tar ut varandra.

Dragningskraften är proportionell mot objektets massa, som i sin tur är proportionell mot objektets volym x3.
Bromskraften i sin tur är proportionell mot objektets arean x2.

Det betyder att ju större objekt, desto högre maxhastighet vid fritt fall. Dessutom är mindre djur starkare i förhållande till sin kroppsvikt än vad större djur är och kan därför kompensera för smällar på ett annat sätt. Resultatet blir att musen blir omskakad men har möjlighet att överleva, medan hästen träffar botten av hisschaktet med en sån hastighet att det bara blir sörja kvar.

3. Varför är det oundviktligt att det blir köer när städer växer?

Ju större städer är, desto större är problemen med trängsel.

Vi kan tänka oss att en stads befolkning är proportionell mot dess area x2. Om radien på staden blir dubbelt så stor, så blir befolkningen fyra gånger så stor. Avstånden från förorten har alltså dubblats (vägarna har blivit dubbelt så långa) men antalet människor har ökat med en faktor fyra. Alltså blir det dubbelt så många människor som ska samsas på lika mycket väg för varje gång en stad dubblerar sin storlek.

I små samhällen är det därför inte alls lika kritiskt att transportera sig på ett platseffektivt sätt, men ju större en stad blir desto viktigare blir det att kunna förflytta sig smart. Det här är en effekt av att avstånden ökar linjärt medan antalet personer ökar kvadratiskt.

BONUS: Vad ska jag göra om jag är stor som en tiokrona och fast i en mixer?

Vi kan läsa frågan från Google-intervjun igen:

Du blir krympt så du är lika lång som en enkronas diameter och slängd i en mixer. Din vikt reduceras så att du har samma densitet som normalt. Mixerns knivblad kommer börja röra sig om 60 sekunder. Vad gör du?

Nu har när vi har lärt oss lite om linjära, kvadratiska, och kubiska förhållanden har vi verktyg för att klura ut den här uppgiften. Vi kan börja med att konstatera att ett tiokronorsmynt har en diameter på cirka 2 centimeter. Vi har alltså blivit 1/100 av vår normala storlek. Som vi lärde oss med myran betyder det att vi har blivit 100 gånger starkare än vad vi är normalt och kan därför utan problem hoppa ut ur mixern.